A história do teorema da exaustão do produto

Rodrigo Peñaloza
2 min readOct 20, 2023

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O teorema de exaustão do produto deve-se a Philip Wicksteed, 1894, que mostrou, em An Essay on the Co-ordination of the Laws of Distribution, que se uma função de produção fosse homogênea linear (isto é, homogênea de grau 1) e se cada fator fosse remunerado por seu produto marginal, então o produto total seria absorvido inteiramente pelos pagamentos aos fatores de produção, sem qualquer excedente ou déficit. Foi ele que denominou essa propriedade de exaustão do produto.

A preocupação de Wicksteed era a incapacidade da teoria clássica de oferecer explicações separadas para os pagamentos da terra, do trabalho e do capital. Segundo ele, a teoria da produtividade marginal era melhor, pois oferecia um princípio único para explicar a remuneração de qualquer fator de produção. Basicamente, ele argumentou que em mercados perfeitamente competitivos, cada fator seria remunerado pelo valor de seu produto marginal. A pergunta óbvia era, então, saber se a soma dessas remunerações exauriria ou não o valor do produto total. A exaustão do produto resultaria de certas propriedades da função de produção, propriedades essas que haviam sido previamente estudadas pelo matemático suíço Leonhard Euler, pecisamente a homogeneidade de grau 1. Como sabemos, a homogeneidade de grau 1 está intimamente relacionada com a propriedade de retornos constantes de escala.

Embora a condição de retornos constantes de escala pareça ser demasiadamente forte para dar plausibilidade à exaustão do produto, Knut Wicksell, em um insight brilhante, argumentou que a exaustão do produto ocorreria mesmo que a função de produção não apresentasse retornos constantes de escala. Wicksell admitiu que a função de produção apresenta três estágios: um estágio inicial com retornos crescentes de escala, um estágio com retornos decrescentes e, finalmente, retornos negativos. No estudo das curvas de custo, essa característica da produção implica curvas de custo médio com formato de U. Para a exaustão do produto, bastava que a competição e livre entrada de firmas levasse a firma a operar na escala que desse lucro zero, precisamente a de custo médio mínimo. Isso reverberou no conceito de equilíbrio de longo prazo na indústria.

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Rodrigo Peñaloza
Rodrigo Peñaloza

Written by Rodrigo Peñaloza

PhD in Economics from UCLA, MSc in Mathematics from IMPA, Professor of Economics at the University of Brasilia.

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