Ontologia aristotélico-tomista e filtros algébricos
A Teoria dos Termos é a parte da Lógica Menor que se dedica à primeira apreensão do espírito. Estou convencido da imensa intuição matemática dos filósofos escolásticos. Por exemplo, o proprium, que, junto de gênero, espécie e diferença específica, é um predicável, é claramente um fixing point de um filtro algébrico.
O proprium se obtém do seguinte modo. Considerando o gênero "animal", que pode ser identificado com um conjunto, passamos à espécie "mamíferos", que é um subconjunto, mediante uma propriedade chamada diferença específica. A diferença específica diferencia propriamente a espécie de qualquer outra. Em outras palavras, a diferença específica deve realmente, como diz o nome, especificar o subconjunto de modo único. Passamos então a subespécies sucessivamente até chegarmos a uma propriedade final, racional, que caracteriza a espécie de tal modo que a única diferenciação ulterior é a coleção dos próprios indivíduos.
Matematicamente, dado o gênero G e os predicáveis, o que temos é uma coleção de subconjuntos E (as espécies, uma contida na outra) de G, dentre os quais há um subconjunto P chamado proprium de tal modo definido que, para qualquer E contido em G, tem-se P contido em E. Essa é precisamente a definição matemática de filtro algébrico, do qual P é dito ser o fixing point.
Assim, o termo “Homem”, que é um universal, é definido por “animal racional”. Essa definição ontológica é um fixing point de um filtro algébrico. Qualquer definição ontológica assim obtida será, por construção, um filtro algébrico.
Mediando a controvérsia sobre os universais, dividida entre os realistas e os nominalistas, São Tomás de Aquino optou por uma posição intermédia, reconhecendo o universal como um ente de razão (um produto da mente), mas aceitando a sua realização nos indivíduos. Os nominalistas entenderiam, como assevero, que cada indivíduo é um fixing point, ou seja, que o proprium é o quid, aquele indivíduo. Já os realistas admitiriam que o proprium contém todos os indivíduos. A diferença, portanto, está entre aceitar que o fixing point de nosso exemplo é o conjunto de todos os homens, como dizem os realistas, ou cada homem em particular, como dizem os nominalistas.
Todo filtro algébrico possui um fixing point. Porém, ultrafiltros podem não ter fixing point. Ultrafiltros surgem, por exemplo, quando o conjunto é infinito enumerável. Isso corresponderia, na Ontologia, à situação na qual é sempre possível determinar uma diferença específica ulterior. É o que ocorre, como pano-de-fundo matemático, com a ideia de mônada de Leibniz. A mônada, para ser fixing point de um ultrafitro, deve provir de uma compactificação de Alexandroff: a introdução arbitrária de um ponto, designado pelo símbolo do infinito, ao ultrafiltro.
Como linguagem preliminar da Ontologia, as categorias ou predicamentos de Aristóteles podem ser tomadas apenas no seu aspecto lógico, sem prejuízo de seus aspectos metafísicos. Dessa forma, há uma identificação estreita entre a ontologia aristotélico-escolástoca e a matemática, especialmente no que concerne à teoria dos conjuntos e sua representação algébrica.
O que me impressiona é a perspicácia intelectual dos filósofos escolásticos em raciocinar com uma profundidade lógica tão complexa e elaborada como uma teoria algébrica. Sem perceberem, eram matemáticos puros.
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Para o estudo da Lógica Menor, vide, além dos clássicos de Gredt (Elementa Philosophiae Aristotelico-Thomistae) e Maritain (A Ordem dos Conceitos: Lógica Menor), os seguintes: Aristóteles (Categorias e Primeiros Analíticos), Porfírio (Isagoge), Ockham (Summa Logicae) e Buridan (Summulae de Dialectica), além de uma introdução moderna de Gardeil, que, na verdade, é um resumo de Gredt e de Maritain. Para entender filtros e ultrafiltros algébricos, vide Sikorski (Boolean Algebra).
